Question

二阶常系数非齐次线性微分方程特解如下？

Answer 1

二阶常系数非齐次线性微分方程特解如下：
二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y+py+qy=f（x），其特解y*设法分为两种。
1、如果f（x）=P（x），Pn（x）为n阶多项式。
2、如果f（x）=P（x）e^αx，Pn（x）为n阶多项式。
特解y*设法：
1、如果f（x）=P（x），Pn（x）为n阶多项式。
若0不是特征值，在令特解y*=x^k*Qm（x）*e^λx中，k=0，λ＝0；因为Qm（x）与Pn（x）为同次的多项式，所以Qm（x）设法要根据Pn（x）的情况而定。
2、如果f（x）=P（x）e^αx，Pn（x）为n阶多项式。
若α不是特征值，在令特解y*=x^k*Qm（x）*e^αx中，k=0，即y*=Qm（x）*e^αx，Qm（x）设法要根据Pn（x）的情况而定。

Answer 2

解:举例子，微分方程为x”-2x’-3x=1，设微分方程的特征值为p，则特征方程为p²-2p-3=0，(p+1)(p-3)=0，得:p=3或-1，特征根为e³ᵗ、e⁻ᵗ
∵方程的右式为1 ∴微分方程的特解为-1/3 ∴微分方程的通解为x=ae³ᵗ+be⁻ᵗ-1/3(a、b为任意常数)