Question

变加速度求时间以位移的关系

假设贯穿地球南北极，从南极地表往下跳，不考虑空气阻力，地球半径6.4×10^6m，加速度随着到地心距离线性变化变化，地表加速度为9.8m/s^2，地心加速度为0，那么a=9.8-9.8/（6.4×10^6）x，南极所在位置位移为0，南极往北极方向为正，求位移x与时间t的关系。

Answer 1

根据提供的条件，加速度随着距离地心的距离线性变化。我们可以将加速度表示为：
a = 9.8 - (9.8 / (6.4 * 10^6)) * x
其中，a 是加速度，x 是距离地心的距离（以南极为参考点，向北为正方向）。这个方程描述了加速度与位移之间的关系。
我们可以使用运动学方程来推导位移 x 与时间 t 的关系。根据加速度的定义，加速度 a 等于速度 v 对时间 t 的导数：
a = dv/dt
根据速度 v 对时间 t 的积分，我们可以得到位移 x 与时间 t 的关系：
x = ∫v dt
现在我们将加速度的表达式代入速度的运动学方程中，得到：
dv/dt = 9.8 - (9.8 / (6.4 * 10^6)) * x
将上述方程重新排列，得到：
dv / (9.8 - (9.8 / (6.4 * 10^6)) * x) = dt
现在我们可以对上述方程进行积分，得到位移 x 与时间 t 的关系：
∫dv / (9.8 - (9.8 / (6.4 * 10^6)) * x) = ∫dt
通过解这个积分方程，可以获得位移 x 与时间 t 之间的关系。然而，这个方程的求解可能比较复杂，并且可能没有明确的解析解。可能需要数值方法或近似方法来计算位移与时间之间的关系。
请注意，这个问题涉及到了复杂的物理计算和积分。对于更精确的结果和具体的数值计算，建议咨询专业的物理学家或使用数值计算软件进行计算。