Question

an=√(1*2)+√(2*3)+√(3*4)……+√[n(n+1)],n=1.2 3 4 ……证明n(n+1)/2＜an＜[(n+1)]^2/2

Answer 1

an=√(1*2)+√(2*3)+√(3*4)+...+√[n(n+1)].
[[[[1]]]
由基本不等式可得: 2√[n(n+1)]＜n+(n+1)
即恒有: 2√[n(n+1)]＜2n+1. n=1,2,3,4,,,,,,
由此可得
2√(1*2)＜2×1+1
2√(2*3)＜2×2+1
2√(3*4)＜2×3+1
.........................
2√[n(n+1)]＜2n+1
上面式子累加,可得
2(an)＜n+n(n+1)=n²+2n＜(n+1)²
∴an＜(n+1)²/2
[[[[2]]]]
易知,恒有:n(n+1)＞n², n=1,2,3,4,,,,
∴恒有:√[n(n+1)]＞n
由此可得
√(1*2)＞1
√(2*3)＞2
...
√[n(n+1)]＞n
累加,可得
an＞n(n+1)/2
上面结合起来,即可证明.

Answer 2

证明：
因n为自然数，得
√n*n ＜√[n(n+1)＜√(n+1)*(n+1)
化简
n ＜√[n(n+1)＜n+1.................(1)
据平方差公式
【√n-√(n+1)】^ 2>0
2√[n(n+1)]＜n+(n+1)
即
√[n(n+1)<(2n+1)/2=n+1/2................(2)

因此，
由(1)得，an>1+2+3+......+n=n(n+1)/2
由(2)得，an<1+1/2+2+1/2+......+n+1/2=n(n+1)/2+1/2n
=n(n+2)/2<(n+1)^2/2

故n(n+1)/2＜an＜[(n+1)]^2/2证明完毕。