Question

已知a∈R，函数f(x)=4x^3-2ax+a,(1)求f（x）的单调区间；（2）证明：当0≤x≤1时，f（x）+|2-a|＞0

Answer 1

解1：
f(x)=4x^3-2ax+a
f'(x)=12x^2-2a
1、令：f'(x)＞0，即：12x^2-2a＞0
有：x^2＞a/6
(1)当a∈(0，∞)时，x＜-(1/6)√(6a)，或者x＞(1/6)√(6a)，
即：f(x)的单调增区间是x∈(-∞，-(1/6)√(6a))∪((1/6)√(6a)，∞)；
(2)当a∈(-∞，0)时，不等式恒成立，
即：f(x)的单调增区间是x∈(-∞，∞)。
2、令：f'(x)＜0，即：12x^2-2a＜0
有：x^2＜a/6
(1)当a∈(0，∞)时，-(1/6)√(6a)＜x＜(1/6)√(6a)，
即：f(x)的单调减区间是x∈(-(1/6)√(6a)，(1/6)√(6a))；
(2)当a∈(-∞，0)时，不等式无解。
综合以上，有：
1、当a∈(0，∞)时：
f(x)的单调增区间是：x∈(-∞，-(1/6)√(6a))∪((1/6)√(6a)，∞)；
f(x)的单调减区间是x∈(-(1/6)√(6a)，(1/6)√(6a))。
2、当a∈(-∞，0)时：
f(x)的单调增区间是x∈(-∞，∞)。