Question

如图，BC是圆O直径，A是圆O上一点，过点C做圆O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的

延长线交于点P。（1）求证AP是圆O切线。（2）若OC=CP,AB=3√3，求CD的长

Answer 1

(1)证明：连OA、OE，

因为CD是圆O的切线,∴∠BCD=90°

因为ED=EC OB=OC ∴OE∥BD

∴∠COE=∠OBA ∠BAO=∠AOE

因为OB=OA ∴∠OBA=∠OAB ∴∠COE=∠AOE

OA=OC OE=OE

∴△OCE≅△OAE(SAS)

∴∠OAE=∠OCE=90°

∴AP⊥OA

∴AP是圆O的切线。

(2)解：因为OC=CP

OA=OC=OP/2

∴∠P=30° ∠AOP=60°

∠B=∠AOP/2=30°

∴∠D=60°

由△OCE≅△OAE得EA=EC∴ED=EA

∴△AED是等边三角形∴AD=DE=EC

∴∠D=60° CD=BD/2

设AD=X 则有2X=(X+3√(3))/2

得X=√(3)

∴CD=2√(3)

Answer 2

（1）证明：连结AC、OA。
因为 BC是圆O的直径，
所以 O是BC的中点，角BAC=90度，
所以 角OAC=90度，
又因为 E是CD的中点，
所以 AE=CE，角EAC=角ECA，
因为 CD是圆O的切线，
所以 角ECA=角B，
所以 角EAC=角B，
因为 OA=OB，
所以 角B=角OAB，
所以 角EAC=角OAB，
因为 角OAB++角OAC=角BAC=90度，
所以 角OAP=角EAC+角OAC=90度，
所以 AP是圆O的切线。
（2）解：因为 在三角形POA中，角PAO=90度，OC=CP，
所以 AC=1/2OP=OC=OA，
所以 角ACB=60度，角B=30度，
因为 角BAC=90度，AB=3根号3，
所以 AC=3，BC=6，
在三角形BDC中，
因为 角DCB=90度，角B=30度，BC=6，
所以 CD=2根号3。