Question

已知数列｛an｝中，a1=1/2，且2a(n+1)-an=n，其中n=1,2,3… 若bn=a(n+1)-an-1

(1)求证:数列｛bn｝是等比数列
(2)求数列｛an｝的通项an
注意:(n+1)指的是下标

Answer 1

1、
证：
2a(n+1)-an=n
2a(n+1)=an+n
2a(n+1)-2(n+1)+4=an-n+2
[a(n+1)-(n+1)+2]/(an -n +2)=1/2，为定值。
a1 -1 +2=1/2 -1+2=3/2
数列{an -n+2}是以3/2为首项，1/2为公比的等比数列。
an -n+2=(3/2)(1/2)^(n-1)=3/2ⁿ
an=n +3/2ⁿ -2
a2=2+3/4 -2=3/4
b1=a2-a1-1=3/4 -1/2 -1=-3/4
bn=a(n+1)-an -1=(n+1)+3/2^(n+1) -2 -n -3/2ⁿ+2 -1=3/2^(n+1)
b(n+1)/bn=[3/2^(n+2)]/[3/2^(n+1)]=1/2，为定值。
数列{bn}是以-3/4为首项，1/2为公比的等比数列。
2、
由第一问得an=n+3/2ⁿ-2

Answer 2

解：
1、因为2an+1-an=n,所以an+1=（an+n）/2
bn=an+1-an-1=（an+n）/2-an-1=-an/2+n/2-1
bn+1=-an+1/2+(n+1)/2-1=-（an+n）/4+(n+1)/2-1=-an/4+n/4-1/2
所以bn+1=bn/2
数列｛bn｝是以b1=-3/4为首项，1/2为比的等比数列

2、bn=-3/4*(1/2)n-1
又因为bn=-an/2+n/2-1
所以an=-2（bn+1-n/2）=3/2n+n-2
经验证a1也满足上式
所以an=3/2n+n-2

追问

bn+1=-an+1/2+(n+1)/2-1=-（an+n）/4+(n+1)/2-1
这一步怎么来的
还有以b1=-3/4为首项怎么算

追答