Question

三角形中,内角A,B,C 所对边a,b,c,已知sinB(tanA+tanC)=tanAtanC(1)求证:b^2=ac (2)若a=1,c=2.求三角形面积

三角形中,内角A,B,C 所对边a,b,c,已知sinB(tanA+tanC)=tanAtanC(1)求证:b^2=ac
(2)若a=1,c=2.求三角形面积

Answer 1

第一个问题：
∵sinB（tanA＋tanC）＝tanAtanC，
∴sinB（sinA/cosA＋sinC/cosC）＝sinAsinC/（cosAcosC），
∴sinB（sinAcosC＋cosAsinC）＝sinAsinC，
∴sinBsin（A＋C）＝sinAsinC，∴sinBsin（180°－B）＝sinAsinC，∴（sinB）^2＝sinAsinC。
结合正弦定理，容易得出：b^2＝ac。

第二个问题：
∵b^2＝ac，又a＝1、c＝2，∴b^2＝1×2＝2，∴b＝√2。
由余弦定理，有：cosB＝（a^2＋c^2－b^2）/（2ac）＝（1＋4－2）/（2×1×2）＝3/4，
∴sinB＝√［1－（cosB）^2］＝√（1－9/16）＝√7/4。
∴S(△ABC)＝（1/2）acsinB＝（1/2）×1×2×（√7/4）＝√7/4。