Question

已知a>b>c，a+b+c=1，a的平方加b的平方加c的平方等于1；求证：1<a+b<3/4

Answer 1

a+b+c=1所以（a+b+c）^2=1所以a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=1
又因为a^2+b^2+c^2=1，所以2ab+2ac+2bc=0.所以至少有一个数小于0。至少有一个大于0
因为a>b>c，.c最小，所以c必定小于0，a必定大于0
由a+b+c=1得a+b>1。又a^2+b^2+c^2=1，所以a<1.所以b>0
2ab+2ac+2bc=0 ac<0所以2ab+2bc>0.b(a+c)>0.所以绝对值a>绝对值c。即a^2>c^2.
同理 bc<0。2ab+2ac>0.a(b+c)>0.所以绝对值b>绝对值c .即b^2>c^2.
又a^2+b^2+c^2=1 所以3c^2<1.
.....后面算不下去了 1<a+b<3/4这个式子必然是错的 后面的3/4应该是4/3吧 这样才会大于1

Answer 2

a+b+c=1
c=1-a-b
a的平方+b的平方+c的平方=1
a^2+b^2+(1-a-b)^2=2a^2+2b^2+1-2a-2b+2ab=1
a^2+b^2+ab-a-b=0
(a+b)^2-(a+b)=ab<(a+b)^2/4
(a+b)[3(a+b)/4)-1]<0
0<a+b<3/4若a+b<1,则c=1-a-b>0
则0<c<b<a<1
a的平方+b的平方+c的平方<a+b+c=1
所以a+b>1

1＜a+b＜3/4