Question

一道初二数学题，给100分，谢谢帮忙

a的5次方=b的4次方 ， c的3次方=d的2次方， c-a=19. c>19{a,b,c,d都为正整数}，求d-b

Answer 1

法一：补充：
a的5次方=b的4次方，c³=d²
设a=m^4,b=m^5,c=n^2,d=n^3
c-a=n^2-m^4=(n+m^2)(n-m^2)=19
a.b.c.d.都是为正整数
n+m^2=19
n-m^2=1
n=10,m=3或-3(舍)
d-b=n^3-m^5=1000-243=757

解法二：
由a^5=b^4得：a=b^4/a^4=(b^2/a^2)^2；
由c^3=d^2得：c=d^2/c^2=(d/c)^2；
代入c-a=19得
(d/c)^2-(b^2/a^2)^2=19
(d/c+b^2/a^2)×(d/c-b^2/a^2)=19=19×1
很明显，前一个括号的值大于后一个括号的，所以必有
d/c+b^2/a^2=19
d/c-b^2/a^2=1
上面两式相加，整理得：d/c=10，即d=10c；
上面两式相减，整理得：b^2/a^2=9，即b^2=9a^2，解得b=3a。
因为d=10c，b=3a，a^5=b^4,c^3=d^2，所以
c^3=d^2=(10c)^2=100c^2，解得c=100，从而d=10c=1000；
由c-a=19得a=c-19=100-19=81，从而b=3a=243。

综上，d-b=1000-243=757。

上面的书写较多，实际书写时可简单些

Answer 2

a^5=b^4，可设a=x^4，b=x^5，同理可设c=y^2，d=y^3，那么c-a=y^2-x^4=(y+x^2)(y-x^2)=19，因为19为质数，所以y+x^2和y-x^2，一个是19，一个是1，因为abcd是正整数，所以x^2>0，可知y+x^2=19，y-x^2=1，求得x=3，y=10，则d-b=y^3-x^5=757

Answer 3

很难，不会