Question

已知数列{an}满足a1=2，且anan+1+an+1-2an=0（n∈N+）． （1）求a2、a3、a4的值； （2）猜想数列{an}...

已知数列{an}满足a1=2，且anan+1+an+1-2an=0（n∈N+）．
（1）求a2、a3、a4的值；
（2）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

an*a(n+1)+a(n+1)=2an
两边同时除以an*(an+1)
得:
1+1/an=2/a(n+1)
设：bn=1/an
则：2b(n+1)=bn+1
2[b(n+1)-1]=bn-1
[b(n+1)-1]/[bn-1]=1/2
则：{bn-1}为公比为1/2的等比数列
则：bn-1=(b1-1)*(1/2)^(n-1)
=(1/a1-1)*(1/2)^(n-1)
=-(1/2)^n
则；bn=1-(1/2)^n
又bn=1/an
则：an=1/[1-(1/2)^n]
=[2^n]/[2^n-1]

Answer 2

1、a1=2、a2=4/3、a3=8/7、a4=16/15，
2、猜测：an=[2^n]/[2^n－1]
①当n=1时，an=2，符合；
②设：当n=k时，有：ak=[2^k]/[2^k－1]，则当n=k＋1时，有：
a(k)a(k＋1)＋a(k＋1)－2a(k)=0，以ak=[2^k]/[2^k－1]代入，得出：a(k＋1)=[2^(k＋1)]/[2^(k＋1)－1]，
根据①②得：an=[2^n]/[2^n－1]

Answer 3

解：
（1）a1=2,a2=4/3,a3=8/7,a4=16/15.
(2)an=2^n/(2^n)-1 1)当n=1时，a1=2,等式成立 2）假设当n=k时等式成立，即ak=2^k/(2^k）-1 则当n=k+1时akak+1+ak+1-2ak=0得ak+1=2ak/（ak）+1, 化简得ak+1=2^(k+1)/2^(k+1)-1. 综上所述，对于n∈N+都有an=2^n/(2^n)-1