Question

若正数x、y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是多少

Answer 1

因为x＞0，y＞0，
所以x+3y≥2根号(3xy)，而x+3y=5xy，所以5xy≥2根号(3xy)，25x²y²-12xy≥0
xy(25xy-12)≥0，xy＞0则25xy12≥0，xy≥12/25
3x+4y≥2根号(12xy)≥2根号(12*12/25)=24/5
3x+4y的最小值是24/5

Answer 2

x+3y=5xy，则(3/5x)+(1/5y)=1；
3x+4y=1*(3x+4y)=[(3/5x)+(1/5y)]*(3x+4y)=(3x/5y)+(4/5)+(9/5)+(12y/5x)=(3x/5y)+(12y/5x)+(13/5)；
又(3x/5y)+(12y/5x)≥2根号[(3x/5y)*(12y/5x)]=2*6/5=12/5，当且仅当3x/5y=12y/5x，即x=1，y=1/2时取等号。
∴3x+4y最小值为12/5+13/5=25/5=5

Answer 3

根据x+3y=5xy得 x=9y/(5y-1) 再代入3x+4y 得（20y^2+5y）/(5y-1)
设Fx=（20y^2+5y）/(5y-1)
所以Fx的导数为（100y^2-40y-5）/(5y-1)^2
有导数为0得 当y=0.5时取得最小值 为15/4
导数是高中的知识 如果你没念高中 那么这个题可能是出纲了 去问老师Fx的最小值怎么求吧
如果在念高中 那就没问题
希望采纳

Answer 4

x+3y=5xy
(3/x)+(1/y)=5
5(3x+4y)
=[(3/x)+(1/y)](3x+4y)≥(3+2)²=25
∴3x+4y≥5
∴最小值=5

追问

[(3/x)+(1/y)](3x+4y)≥(3+2)²这一步怎么来的？为什么是≥（3+2）^2，我就是这里不明白呀

追答

柯西不等式