Question

求二阶常系数非齐次线性微分方程y''-4y'+3y=2e∧（2x） 的通解 求大神解答！万分感谢！

Answer 1

y''-4y'+3y==0的特征方程为：λ²-4λ+3=0，所以(λ-1)(λ-3)=0,它的根为λ=1,λ=3
y''-4y'+3y==0的通解为;y=C1e^x+C2e^(3x),(C1,C2为任意常数)

设y''-4y'+3y=2e^(2x)的特解为y*=(ax+b)e^(2x),
则y*'=ae^(2x)+2(ax+b)e^(2x),y*"=2ae^(2x)+2ae^(2x)+4(ax+b)e^(2x)
代入y''-4y'+3y=2e^(2x）则[2ae^(2x)+2ae^(2x)+4(ax+b)e^(2x)]-4ae^(2x)+2(ax+b)e^(2x)]+3[(ax+b)e^(2x)]=2e^(2x)
整理，得-(ax+b)e^(2x)=2e^(2x),所以a=0,b=-2.则特解y*= -2e^(2x)

故y''-4y'+3y=2e^(2x)的解为：y=C1e^x+C2e^(3x) -2e^(2x),(C1,C2为任意常数)
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(代入原方程验证，正确。)