Question

已知函数f(x)=1/2ax^2-(a+1)x+lnx当a>0时求f(x)的单调区间

Answer 1

f(x)=1/2ax^2-(a+1)x+lnx ---> f'(x)=ax+1/x-(a+1)
令f'(x)=0,则 ax+1/x-(a+1)=0, 解得：x1=1 ,x2=1/a
定义域x∈(0,∞)
若0<a<1,则 当x∈(0,1), f''(x)=a-1/x^2<a-1<0，∴f'(x)单调减 ∴f'(x)>f'(1)=0 ∴f(x)单调上升；
当x∈[1,1/a],f'(x)=ax+1/x-(a+1)=(ax-1)(x-1)/x≤0 ∴f(x)单价下降；
当x∈(1/a,∞), f'(x)=ax+1/x-(a+1)=(ax-1)(x-1)/x>0 ∴f(x)单调上升；
若a=1,则 f'(x)=ax+1/x-(a+1)=(ax-1)(x-1)/x=(x-1)^2/x≥0 ∴f(x)在整个定义域单调上升；
若a>1,则 当x∈(0,1/a), f'(x)=ax+1/x-(a+1)=(ax-1)(x-1)/x>0 ∴f(x)单调上升；
当x∈[1/a,1],f'(x)=ax+1/x-(a+1)=(ax-1)(x-1)/x≤0 ∴f(x)单价下降；
当x∈(1,∞), f'(x)=ax+1/x-(a+1)=(ax-1)(x-1)/x>0 ∴f(x)单调上升；