Question

四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，E是SD的中点。

（1）求证：SB∥平面EAC
（2）求证：AC⊥BE

Answer 1

1、连结AC、BD，交于O。连结EO，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AC、BD互相垂直平分，O是BD的中点，

∴EO 是△SDB的中位线，

∴EO//SB，

∵EO∈平面AEC，

∴SB//平面EAC。

2、∵SD⊥平面ABCD，

AC∈平面ABCD，

∴SD⊥AC，

∵AC⊥BD，（正方形对角线互垂直平分），

BD∩SD=D，

∴AC⊥平面SDB，

∵BE∈平面SBD，

∴AC⊥BE。

Answer 2

①证明：连接AC、BD相交于M。连接EM。
∵四边形ABCD为正方形，
∴BM=DM，AC⊥BD。
在△SDB中，∵DE=ES,DM=MB ,∴EM∥SB。
∵EM在平面EAC上，∴SB∥平面EAC。
证毕。
②证明：
∵SD⊥平面ABCD ∴SD⊥AC。
又∵BD⊥AC，且BD、SD都在平面SDB上，
∴AC⊥面SBD
又∵BE在平面SBD上，
∴AC⊥BE。
证毕。