Question

已知数列｛an｝中，a1=1/2，且2a(n+1)-an=n，其中n=1,2,3… 若bn=a(n+1)-an-1

(1)求证:数列｛bn｝是等比数列(2)求数列｛an｝的通项an注意:(n+1)指的是下标

Answer 1

因为2a(n+1)-an=n，即2a(n+1)=an+n
所以2a(n+2)=a(n+1)+n+1
那么2a(n+2)-2a(n+1)=a(n+1)-an+1
所以2a(n+2)-2a(n+1)-2=a(n+1)-an-1
即a(n+2)-a(n+1)-1=1/2*[a(n+1)-an-1]
即b(n+1)=1/2*bn
而2a2=a1+1=3/2，a2=3/4
所以b1=a2-a1-1=3/4-1/2-1=-3/4
所以数列bn是以-3/4为首项、以1/2为公比的等比数列
(2)bn=a(n+1)-an-1=-3/4*(1/2)^(n-1)
那么a(n+1)-an=1-3/4*(1/2)^(n-1)
那么an-a(n-1)=1-3/4*(1/2)^(n-2)
………………………………………
a2-a1=1-3/4*(1/2)^0
累加得：an-a1=(n-1)-3/4*[(1/2)^(n-2)+(1/2)^(n-3)+……+(1/2)^0]
=(n-1)-3/4*[2-(1/2)^(n-2)]
=n-5/2+3/4*(1/2)^(n-2)
=n-5/2+3*(1/2)^n
所以an=n-2+3*(1/2)^n