Question

(2) z=ln(x+3y);求二阶偏导

Answer 1

首先，求z对x的一阶偏导数：
（1）对z求x的偏导数，得到：
∂z/∂x = 1/(x+3y) × (∂(x+3y)/∂x) = 1/(x+3y)
（2）对∂z/∂x求x的偏导数，得到：
∂²z/∂x² = -1/(x+3y)² × (∂(x+3y)/∂x) = -(1/(x+3y)²)
然后，求z对y的一阶偏导数：
（1）对z求y的偏导数，得到：
∂z/∂y = 1/(x+3y) × (∂(x+3y)/∂y) = 3/(x+3y)
（2）对∂z/∂y求y的偏导数，得到：
∂²z/∂y² = -9/(x+3y)³
最后，求z对x和y的混合偏导数：
对∂z/∂x求y的偏导数，得到：
∂²z/(∂y∂x) = -1/(x+3y)² × (∂(x+3y)/∂y) = 1/(x+3y)²
对∂z/∂y求x的偏导数，得到：
∂²z/(∂x∂y) = 1/(x+3y)² × (∂(x+3y)/∂x) = 1/(x+3y)²
因此，原函数z=ln(x+3y)的二阶偏导数为：
∂²z/∂x² = -(1/(x+3y)²)
∂²z/∂y² = -9/(x+3y)³
∂²z/(∂y∂x) = 1/(x+3y)²
∂²z/(∂x∂y) = 1/(x+3y)²