Question

牛顿莱布尼茨公式怎样推导的？

Answer 1

　1、定义函数Φ(x)=
x(上限)∫a（下限）f(t)dt，则Φ’(x)=f(x)。
　　证明：让函数Φ(x)获得增量Δx，则对应的函数增量
　　ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt
　　显然，x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt
　　而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)•Δx(ξ在x与x+Δx之间，可由定积分中的中值定理推得，
　　也可自己画个图，几何意义是非常清楚的。)
　　当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x)，故有lim
Δx→0
ΔΦ/Δx=f(x)
　　可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ’(x)=f(x)。
　　2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a），F（x）是f(x)的原函数。
　　证明：我们已证得Φ’(x)=f(x)，故Φ(x）+C=F（x）
　　但Φ(a)=0（积分区间变为[a,a]，故面积为0），所以F（a）=C
　　于是有Φ(x）+F（a）=F（x），当x=b时，Φ(b)=F（b)-F(a),
　　而Φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt，所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=F（b)-F(a)
　　把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。