Question

在三角形ABC中，abc分别为内角ABC的对角，已知2a sinA＝（2b +c ）sinB+（2c +b ）sinC。若a ＝3，求b ...

在三角形ABC中，abc分别为内角ABC的对角，已知2a sinA＝（2b +c ）sinB+（2c +b ）sinC。若a ＝3，求b +c 的最大值？

Answer 1

在三角形ABC中，
由正弦定理得 a=2rsinA b=2rsinB C=2rSICC
又2a sinA＝（2b +c ）sinB+（2c +b ）sinC
所以 2a ²＝（2b +c ）b+（2c +b ）c
a²=b²+c²+bc
b²+c²+bc=9≥2bc+bc
即 bc≤3 当且仅当 b=c时成立

（b +c）²=b² +c²+2bc =9+bc≤12
所以b +c 的最大值2√3

Answer 2

正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC
sinB/sinA=b/a
sinC/sinA=c/a
2a sinA＝（2b +c ）sinB+（2c +b ）sinC
2a=(2b+c)sinB/sinA+(2c+b)sinC/sinA
2a=(2b+c)*b/a+(2c+b)*c/a
2a^2=2b^2+2c^2+2bc
a^2=b^2+c^2+bc>=2bc+bc=3bc
3bc<=a^2=9
bc<=3
(b+c)^2=b^2+c^2+2bc>=2bc+2bc=4bc<=12
b+c<=根号(12)=2根号(3)

Answer 3

2a sinA＝（2b +c ）sinB+（2c +b ）sinC根据正弦定理2a²=(2b+c)b+(2c+b)c∴2a²=2b²+2c²+2bc∴a²=b²+c²+bc∴b²+c²-a²=-bc根据余弦定理cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=-1/2∴b+c=120º