Question

矩阵的行向量是空间的一组基，那么列向量也是一组基？？为什么啊？？

Answer 1

矩阵的行向量是空间的一组基,这句话意思是此矩阵为满秩矩阵，
假设列向量不是一组基，那么至少有一向量可以被其他线性表出。这时可以进行列变换就会化成至少有一行全为0的矩阵，显然此矩阵的秩不是满秩的。矛盾
所以原结论成立

追问

为什么矩阵的行向量是空间的一组基,这句话意思是此矩阵为满秩矩阵啊?那如果是 那个矩阵的列向量是一组基也能说明此矩阵满秩吗

追答

如果是空间的一组基 那么一定是线性无关的，所以是满秩啊 后面可以那么说

Answer 2

这个命题中矩阵必须是方阵

设A是n阶方阵
因为 矩阵的行向量是空间的一组基
所以 A的行向量组线性无关, 且A的行向量组的秩等于n, 且 dimV = n
而 矩阵的秩 等于 行秩 等于 列秩
所以A的列向量组也线性无关
由 dimV=n, 所以A的n个列向量是V的一组基.