Question

求积分 ∫(1,4) ln x/x^(1/2) dx的值

积分括号(1,4)其中1为积分下限，4为积分上限，在线等答案，希望步骤清晰完整，谢谢！

Answer 1

这个积分可以通过换元法来求解。设 u = sqrt(x)，那么 du = 1/(2sqrt(x)) dx = 1/(2u) dx。所以 dx = 2u du。
当 x=1，u = sqrt(1) = 1，当x=4，u = sqrt(4) = 2。
所以，原积分可以转化为 ∫(1,2) 2u*ln(u^2) du = 2*∫(1,2) u*ln(u^2) du。
这是一个“u*ln(u)”形式的积分，可以通过部分积分法来求解。
设 v = ln(u^2)，dv = 2/u du，w = u， dw = du。
根据部分积分法的公式 ∫v dw = vw - ∫w dv，我们有
∫v dw = ∫(1,2) ln(u^2) du = [u*ln(u^2)](1,2) - ∫(1,2) u*2/u du = [u*ln(u^2)](1,2) - 2*[u](1,2)。
带入积分上下限，得到 [2*ln(4) - 2] - [1*ln(1) - 2] = 2ln(4) - 2 = 2*2 - 2 = 2。
所以 ∫(1,4) ln x/x^(1/2) dx = 2。

追答

这个积分可以通过换元法来求解。设 u = sqrt(x)，那么 du = 1/(2sqrt(x)) dx = 1/(2u) dx。所以 dx = 2u du。
当 x=1，u = sqrt(1) = 1，当x=4，u = sqrt(4) = 2。
所以，原积分可以转化为 ∫(1,2) 2u*ln(u^2) du = 2*∫(1,2) u*ln(u^2) du。
这是一个“u*ln(u)”形式的积分，可以通过部分积分法来求解。
设 v = ln(u^2)，dv = 2/u du，w = u， dw = du。
根据部分积分法的公式 ∫v dw = vw - ∫w dv，我们有
∫v dw = ∫(1,2) ln(u^2) du = [u*ln(u^2)](1,2) - ∫(1,2) u*2/u du = [u*ln(u^2)](1,2) - 2*[u](1,2)。
带入积分上下限，得到 [2*ln(4) - 2] - [1*ln(1) - 2] = 2ln(4) - 2 = 2*2 - 2 = 2。
所以 ∫(1,4) ln x/x^(1/2) dx = 2。

这个积分可以通过换元法来求解。设 u = sqrt(x)，那么 du = 1/(2sqrt(x)) dx = 1/(2u) dx。所以 dx = 2u du。
当 x=1，u = sqrt(1) = 1，当x=4，u = sqrt(4) = 2。
所以，原积分可以转化为 ∫(1,2) 2u*ln(u^2) du = 2*∫(1,2) u*ln(u^2) du。
这是一个“u*ln(u)”形式的积分，可以通过部分积分法来求解。
设 v = ln(u^2)，dv = 2/u du，w = u， dw = du。
根据部分积分法的公式 ∫v dw = vw - ∫w dv，我们有
∫v dw = ∫(1,2) ln(u^2) du = [u*ln(u^2)](1,2) - ∫(1,2) u*2/u du = [u*ln(u^2)](1,2) - 2*[u](1,2)。
带入积分上下限，得到 [2*ln(4) - 2] - [1*ln(1) - 2] = 2ln(4) - 2 = 2*2 - 2 = 2。
所以 ∫(1,4) ln x/x^(1/2) dx = 2。

Answer 2

先用换元法，再分部积分，详细步骤如下图片：

追问

谢谢你！

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