Question

求这道题详解

这种幂级数的收敛域怎么求的？

Answer 1

首先，我们需要先将 x^2+3x+2分解为 (x+1)(x+2)的形式，即：

x^2+3x+2=(x+1)(x+2)然后，我们可以将函数 \frac{1}{x^2+3x+2}表示为两个单项式的和的形式，即：

\frac{1}{x^2+3x+2}=\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}

接下来，我们可以将 \frac{1}{x+1} 和 \frac{1}{x+2} 分别展开成 (x-1)和 (x-1) 的幂级数，即：

\frac{1}{x+1}=\frac{1}{2}+\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(x-1)^n\frac{1}{x+2}=-\frac{1}{2}+\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(x-1)^n

将上述两个级数相加，可以得到：

\frac{1}{x^2+3x+2}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n[(x-1)^n+(x-1)^{n+1}]

这个级数在 x=1 处收敛，收敛半径为 1。因为当 |x-1|<1 时，级数中的每一项都是有界的，而当 |x-1|>1 时，级数中的绝对值不断增大，因此级数发散。当 |x-1|=1时，级数可能收敛也可能发散，需要进行特殊处理。

Answer 2

我们需要找到函数 f(x) = x^2 + 2x + 1/2 在 x = 1 处的幂级数展开。首先，我们将使用泰勒级数展开。泰勒级数是一个关于变量 x 的无穷级数，它表示为一个函数在某一点 a 附近的多项式。泰勒级数的一般形式为：

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...

在这个例子中，我们需要展开 f(x) 在 x = 1 处的泰勒级数。为此，我们需要计算 f(x) 在 x = 1 处的函数值及各阶导数。

1. 函数值：f(1) = (1)^2 + 2(1) + 1/2 = 3.5

2. 一阶导数：f'(x) = 2x + 2；f'(1) = 2(1) + 2 = 4

3. 二阶导数：f''(x) = 2；f''(1) = 2

现在我们有足够的信息来构造泰勒级数。将上述计算结果代入泰勒级数公式，我们得到：

f(x) ≈ 3.5 + 4(x-1) + (2/2!)(x-1)^2

简化后得到：

f(x) ≈ 3.5 + 4(x-1) + (x-1)^2

这是函数 f(x) 在 x = 1 处的幂级数展开。

至于收敛域的问题，在这种情况下，由于我们的泰勒级数实际上是一个多项式，因此它在整个实数域上都收敛。所以，收敛域为：(-∞, +∞)。

Answer 3

我们要将函数f(x) = 1/(x^2 + 3x + 2) 展开成x=1处的幂级数，也就是我们要找到关于(x-1)的幂级数。首先我们对f(x)进行部分分式分解：
f(x) = 1/(x^2 + 3x + 2) = 1/((x+1)(x+2))
我们可以将其表示为：
f(x) = A/(x+1) + B/(x+2)
我们需要求出A和B的值。为了找到A和B，我们将两边的等式乘以(x+1)(x+2)，得到：
1 = A(x+2) + B(x+1)
为了求解A，我们可以令x=-2，得到：
1 = A(-2+2) + B(-2+1)
1 = -B
B = -1
为了求解B，我们可以令x=-1，得到：
1 = A(-1+2) - 1
2 = A
A = 2
所以，我们可以将f(x)表示为：
f(x) = 2/(x+1) - 1/(x+2)
接下来，我们需要将这两项展开成关于(x-1)的幂级数。我们可以将x+1和x+2表示为：
x+1 = (x-1)+2
x+2 = (x-1)+3
然后使用几何级数展开：
2/(x+1) = 2/((x-1)+2) = 2 * (1/2) / (1 - (x-1)/2)
= 1/(1 - (x-1)/2)
将上式展开成关于(x-1)的幂级数：
2/(x+1) = 1 + (x-1) + (x-1)^2 + (x-1)^3 + ...
-1/(x+2) = -1/((x-1)+3) = -1 * (1/3) / (1 - (x-1)/3)
= -1/(1 - (x-1)/3)
将上式展开成关于(x-1)的幂级数：
-1/(x+2) = -1/3 - (x-1)/3 + (x-1)^2/3^2 - (x-1)^3/3^3 + ...
将两个幂级数相加，得到关于(x-1)的幂级数：
f(x) = 1 + (2/3)(x-1) + (1/3)(x-1)^2 - (1/3^3)(x-1)^3 + ...
幂级数的收敛域可以通过比值或根值准则得到。在这里，我们使用比值准则：
lim (n→∞) |((x-1)^(n+1) / (x-1)^n)| < 1
| x - 1 | < 1
-1 < x - 1 < 1
0 < x < 2
所以，函数f(x) = 1/(x^2 + 3x + 2)在x=1附近的幂级数展开的收敛域为0 < x < 2。在这个区间内，我们可以将f(x)表示为关于(x-1)的幂级数：
f(x) = 1 + (2/3)(x-1) + (1/3)(x-1)^2 - (1/3^3)(x-1)^3 + ...
在收敛域内，该幂级数可以很好地近似原始函数f(x)。请注意，这里展示的幂级数仅包含前几项。实际上，幂级数是无穷级数，包含无穷多项。在实际应用中，我们通常保留若干项以获得所需的精度。