Question

已知，在三角形ABC中，角BAC等于90度，AB等于AC，点D是BC上任意一点，求BD平方+CD平方=2AD平方

Answer 1

△ABC中：∠A=90°，AB=AC，
点D是BC上任意一点，过A作AE⊥BC于E，
设BE=EC=AE=1，DE=x，∴BE=1-x，DE=1+x，
（1）BD²+CD²=（1-x）²+（1+x）²
=1-2x+x²+1+2x+x²
=2+2x²
（2)AD²=AE²+DE²,
∴AD²=1²+x²
2AD²=2+2x².
由（1）和（2）得：
BD²+CD²=2AD²正确。

Answer 2

以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立坐标系
设B点坐标为(a,0)
则C为（0，a）
直线BC为
y=a-x
D在BC上
不妨设D坐标为（m,a-m）

BD^2=(m-a)^2+(a-m)^2=2(m-a)^2
CD^2=(m-0)^2+(a-m-a)^2=2m^2
AD^2=(m-0)^2+(a-m-0)^2=m^2+(a-m)^2

BD^2+CD^2=2AD^2