Question

为何无限个无穷小乘积不一定是无穷小?

Answer 1

你之所以无法理解为何无限个无穷小乘积不一定是无穷小是因为你没搞清这两点

1.无穷小不是一个数，而是在某个微小邻域内极限值为0的函数

2.无限个无穷小，不是很多个无穷小，很多个到无穷个是量变到质变的过程。

参考有限个无穷小之积仍然是无穷小的证明，可以发现，当从有限到无限的时候，我们无法对α进行定义，故而也找不到符合条件的邻域使得无穷个无穷小乘积为无穷小成立。

你也可以这样理解，这无穷个无穷小中并不全是同阶的无穷小，而无穷小的阶表征了无穷小趋近于0的快慢，故而在任意时刻，都会存在无穷多个无穷小还没来得及达到0，故而总乘积也不一定是无穷小。

Answer 2

这是因为无穷小的性质与无穷个无穷小的乘积之间存在一些细微但重要的差异。虽然一个无穷小数乘以另一个无穷小数通常会得到一个无穷小数，但当你考虑无穷个无穷小数的乘积时，情况会更加复杂。
在数学中，我们使用无穷小来表示趋近于零的数量。然而，无穷个无穷小数的乘积可能会导致不同的情况。
考虑一个简单的例子，假设我们有一个序列 {1/n}，其中 n 是正整数。每个数都是一个无穷小，因为当 n 趋近于无穷大时，1/n 也趋近于零。然而，如果我们将所有的无穷小数相乘，即计算无穷乘积 ∏(1/n)，结果并不是无穷小。
在这个例子中，我们可以使用级数的概念来说明这个现象。将序列 {1/n} 进行乘积的运算实际上等价于计算级数的乘积 ∏(1/n)。而根据级数的性质，当级数 ∑(1/n) 发散时，其乘积 ∏(1/n) 并不趋近于零，而是无穷大或发散。
因此，尽管一个无穷小数乘以另一个无穷小数通常会得到一个无穷小数，但当考虑无穷个无穷小数的乘积时，并不能保证结果仍然是无穷小。这涉及到级数的收敛性和发散性的概念，以及乘积运算在无穷个因子时的特殊性质。