Question

设V是一个n维欧式空间，a1,a2,....,am是V中的正交向量组，令：

设V是一个n维欧式空间，a1,a2,....,am是V中的正交向量组，令：
W={α | (a,ai)=0, α∈ V ,i=1,2,...m}
证明：W是V的一个子空间
证明：W的正交补 =L(a1,12,...an)

Answer 1

证明:(1) 对任意a,b∈W, k∈F (a,ai)=0, (b,ai)=0, i=1,2,...,m 所以 (a+b,ai)=(a,ai)+(b,ai)=0 (ka,ai)=k(a,ai)=0, i=1,2,...,m 所以 a+b,ka∈W 所以 W是V的一个子空间. (2) 由a1,a2,...,am是V中的正交向量组 故 a1,a2,...,am 线性无关, 可扩充为V的一组基 a1,a2,...,am,am+1,...,an 将 am+1,...,an 正交化得与其等价的正交向量组 bm+1,...,bn 所以 a1,a2,...,am,bm+1,...,bn 是V的一组正交基 易见 W=L(bm+1,...,bn), W与L(a1,a2,...,am)正交, dimW+dim(L(a1,a2,...,am))=n 所以 W的正交补 =L(a1,a2,...,am).

注: W=L(bm+1,...,bn)
因为 a1,a2,...,am,bm+1,...,bn 是V的一组正交基所以 bi 与 aj 正交, 所以 bi∈W所以 L(bm+1,...,bn)包含在W中.反之, 对W中任一向量a, 有(a,ai)=0, i=1,2,...,m且 a 可表示为 a = k1a1+k2a2+...kmam+km+1bm+1+...+knbn则 k1a1+k2a2+...kmam = a -km+1bm+1-...-knbn两边对ai作内积得 ki(ai,ai)=0, 故ki=0, i=1,2,...,m所以 a = km+1bm+1+...+knbn ∈L(bm+1,...,bn)综上, W=L(bm+1,...,bn).