Question

高数 微分方程 通解 特解

请问里面的特解-1/2cosx是怎么求出来的,?要完整过程,,谢谢!!!

Answer 1

若求得：y" - p(x)*y' - q(x)*y = 0 的两个线性无关的特解：u(x)，v(x)，则 非齐次方程：
y" - p(x)*y' - q(x)*y = t(x)
的通解公式为：
y = C1 * u(x) + C2 * v(x) + ∫ [ u(s)*v(x) - u(x)*v(s) ] / [ u(s)*v ' (x) - v(s) * u ' (x) ] * t(s) ds.
这里的微分方程为：f '' (x) - f(x) = cos x，齐次部分：y '' - y = 0.
特征方程为：x^2 - 1 = 0. x = 1 和 x = -1.
所以，基础解系 u(x) = e^x，v(x) = e^(-x). t(x) = cosx，代入通解公式计算，就能够得到方程的通解为：f(x) = C1 * e^x + C2 * e^(-x) - 1/2 * cosx.
【注：
∫ [ u(s)*v(x) - u(x)*v(s) ] / [ u(s)*v ' (x) - v(s) * u ' (x) ] * t(s) ds.
通解公式中，这个部分计算出来的就是 -1/2 * cos x ，就是特解.
】
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Answer 2

因表达式为cosx
设待定特解为y=Acosx+Bsinx(这是固定用法,A,B为待定系数)
代入微分方程y''-y=cosx得：-Acosx-Bsinx-Acosx+Bsinx=cosx
即，-2Acosx-2Bsinx=cosx
比较系数得到-2A=1，-2B=0
特解为y=-(1/2)cosx