Question

如图,在RT△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠ABC的平分线BE交CD于点G，交AC于点G，CF//AC交AB于点F，求EF垂直AB

Answer 1

谢谢提醒，我好象刚才也打错一个字母
证明：CD⊥AB，所以∠CAD+∠ACD=90
△ABC为直角三角形，所以∠BCD+∠ACD=90
因此∠CAD=∠BCD
GF∥AC，所以∠BFG=∠CAD=∠BCD
在△BFG和△BCG中
∠BFG=∠BCD，∠FBG=∠CBG，BC=BC
所以△BFG≌△BCG。BF=BC
在△BCE和△BFE中 BE=BE，∠CBE=∠FBE，BC=BF
所以△BCE≌△BFE。
∠BFE=∠BCE=90
EF⊥AB

Answer 2

∵CD是Rt△ABC的斜边AB上的高
∴∠A=∠BCG(都是∠ABC的余角)
又BE平分∠ABC
∴△ABE∽△CBG
∵GF∥AC
∴△ABE∽△FBG
∴△CBG∽△FBG
又BG=BG
∴△CBG≌△FBG
∴BC=BF
又BE平分∠FBC
BE=BE
∴△CBE≌△FBE(SAS)
∴∠EFB=∠ECB=90°
即EF⊥AB

Answer 3

证明：
Rt△ABC，CD⊥AB，易知
△ABC∽△CBD
∴AB：BC=BC：BD (1)
而BG是∠ABC的平分线，
∴BC：BD=CG：GD (2)
由(1)(2)得到：
AB：BC=CG：GD (3)
又∵GF∥CA
∴CG：GD=AF：FD (4)
由(3)(4)得到：
AB：BC=AF：FD (5)
又∵BE是∠ABC的平分线，
∴AB：BC=AE：EC (6)
由(5)(6)得到：
AF：FD=AE：EC
由此得到：
EF∥CD
而CD⊥AB
∴EF⊥AB
证毕。

Answer 4

延长FG与CB交于H
∵BE平分∠FBC 又∵GF∥AC RT△ABC ∠ACB为直角
∴∠BHG=∠BDG
∴△BGH∽△BDG 又∵BG=BG
∴△BGH≌△BDG ∠BGD= ∠BGH= ∠EGF= ∠EGC
同样可证出：△BCG≌△BFG
∴ GF=GC EG=EG ∠EGC=∠EGF ∠BFG=∠BCG
∴△GEF≌△GEC （两边一夹角）
∴∠EFG= ∠ECG ∠BFG=∠BCG
∴∠EFD=∠ EFG+∠BFG= ∠ECG+∠BCG =∠ACB=90度 ∴EF垂直AB

Answer 5

同学，你好像把问题中的各个点搞错了。