Question

f(x+y)=f(x)+f(y) f(1)=c 证明f(x)=cx 有奖

最好用高中能理解的方法解
“粉色ぉ回忆” 的回答只是一些点，不能代表全部，征求更好的！！！

Answer 1

典型的柯西方法解函数方程.

一般方法是先在整数集上解这个函数方程,再推广至有理数,最后用极限,两边夹之类的方法证明在无理数集上,该
解也成立.即完成证明.

详细过程:(只对自变量大于零证明,小于零可仿照)

容易得到f(nx)=nf(x)

令x=1可以得到f(n)=nf(1)=cn.

所以在整数集上该函数方程的解为f(x)=cx.

令x=b/a,n=a(a,b为互素整数).

可以得到f(b)=af(b/a)=cb

所以f(b/a)=c*b/a.即在有理数集上该解也成立.

最后是无理数(我默认这个函数是连续函数):

对无理数d,找两个和它足够接近的有理数e,g

显然f(x)单调递增.

e<d<g可以有f(e)<f(d)<f(g)

由函数的连续性只能f(d)=cd.证毕.

Answer 2

第一个人的证明有问题。。

他只是证明了对x是自然数成立，而没有对整个实数成立！

cchyk - 助理 三级
的证明人为加入了连续可导的条件，这显然不可以，因为题目没有给这些条件啊，要是有这些条件，这题就简单了。

这个题是不可能用高中的方法证明的，需要用到大学的极限和逼近的一些理论，大概思路是
：
1、先证明对整数有结论成立，
2、然后由于任何有理数均可以表示为p/q（p q是素数）的形式，证明结论对有理数成立.
3、根据有理数在实数域内是稠密的，也就是任何无理数可以利用一列有理数逼近，证明该结论对任何无理数也成立
这就证得了结论对所有实数均成立！
过程的话，现在写出来高中估计难看懂，你以后可以看看大学的数学分析教材，或者高等数学教材，均有详细证明！

Answer 3

嗯，你这个题目少了一个函数连续的条件，如果加上的话就是大学数学分析课本的一道书后习题了。。。我刚好做过。做法按照POPO的就好了。

Answer 4

前面有几位证明有明显 问题 第一位.. .-o- 后面的 假设连续可以理解 但要取收敛于 无理数x的两个有理数列 而不是两个数
假设可导的那个显然要求过高了...... POPO说的支持一下

Answer 5

cchyk - 助理 三级
只有他证了全体实数的情况。其他只证了很显然的正整数情况。