Question

计算（二重积分）xy^2dydz+yz^2dzdx+zx^2dxdy 范围为上半球面z=根号1-x^2-y^2的上侧 速度急求

Answer 1

解：令P=xy²，Q=yz²，R=zx²
则αP/αx=y²，αQ/αy=z²，αR/αz=x²
∴根据高斯定理，有
∫∫<D>xy²dydz+yz²dzdx+zx²dxdy+∫∫<S>xy²dydz+yz²dzdx+zx²dxdy
=∫∫∫<V>(αP/αx+αQ/αy+αR/αz)dxdydz
=∫∫∫<V>(x²+y²+z²)dxdydz (D表示上半球面，S表示xy平面圆：x²+y²=1，V表示D+S)
=∫<0,2π>dθ∫<0,π/2>sinφdφ∫<0,1>r²*r²dr (做球面坐标变换)
=(2π-0)(1-0)(1/5-0)
=2π/5
∵∫∫<S>xy²dydz+yz²dzdx+zx²dxdy=0 (∵z=0，∴dz=0)
∴∫∫<D>xy²dydz+yz²dzdx+zx²dxdy=2π/5-∫∫<S>xy²dydz+yz²dzdx+zx²dxdy
=2π/5-0
=2π/5。

Answer 2

利用高斯公式，先求出整个球面上的这值，再取其值的一半。。