Question

六、 将函数ln(a+x) (a>0)展开成x的幂级数，并求展开式成立的区间。

Answer 1

（ln(a+x))'=1/(a+x)=(1/a)1/(1+x/a)=(1/a)∑(0,∞)(-x/a)^n |x|<a
所以：ln(a+x) =∑(0,∞)(-1)^n*(x/a)^(n+1)/(n+1)+C
当x=0时，求得C=lna
当x=a时，为收敛的交错级数
当x=-a时，发散
所以：ln(a+x) =∑(0,∞)(-1)^n*(x/a)^(n+1)/(n+1)+lna （-a,a]

Answer 2

ln(a+x) =ln{a[1+(x/a)]}=lna+ln[1+(x/a)]=lna+Σ[1,∞][(-)^(n-1)]{(x/a)^n]/n}，成立区间：-a<x<a