Question

如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AD=4,DC=5,AB=4根号2,∠B=45°,动点M

如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AD=4,DC=5,AB=4根号2,∠B=45°,动点M从B点出发沿线段BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿CDA以每秒2单位长度的速度向终点A运动。若M，N两点同时出发，当其中一点到达端点是，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒。
求t为何值时，四边形CDMN为等腰梯形。

Answer 1

解：过点A作AE垂直BC于E点，过D作DF垂直BC于F点
在直角三角形ABE中，AB＝4√2，∠B=45°，所以根据勾股定理得AE＝BE＝4＝AD
又在直角三角形CDF中，DC＝5，则根据勾股定理得CF＝3
因为AD＝4＝EF，所以BC＝BE+EF+FC＝4+4+3＝11
即点M由起点到终点的距离为11，到终点所需时间为11/1＝11秒
t秒后，CM＝BC－BM＝11－t
AD+DC＝4+5＝9，即点N由起点到终点的距离为9，到终点所需时间为9/2＝4.5秒
在梯形ABCD中，AD与BC平行，而四边形DCMN为等腰梯形，且点N在CD上时不可能构成四边形，所以等腰梯形DCMN中DN与CM为底边，DC与MN为腰
当点N移动到AD上构成等腰梯形时，MN＝DC＝5，DN＝2t－DC＝2t－5
过点N作NG垂直BC于G点，则有DN＝GF＝2t－5，NG＝DF＝4
在直角三角形NGM中，根据勾股定理可得MG＝3，则MC＝MG+GF+FC＝3+2t－5+3＝2t+1
即11－t＝2t+1，解得t＝10/3（小于4.5秒，所以该答案符合题意）
所以t为10/3时，四边形DCMN为等腰梯形

Answer 2

（1）过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F
因为AE⊥BC ∠B=45度
所以AB∶BE∶AE=4√2∶1∶1
所以AE=BE=4
因为AD//BC
所以AE=DF=4
因为∠DFC=90° DC=5
所以FC=3
因为BC=BE+EF+FC
所以BC=3+3+4=10
(2)过点N做NH垂直BC于点H
因为∠C=∠C
∠NHC=∠DFC=90°
所以△NHC∽△DFC
因为DC/HC=5/3
所以NC/HC=5/3
因为MN=NC
所以MH=HC=1/2MC
所以MH=HC=1/2*（10-2t）=5-t
所以5/3=t/（5-t）
所以3t=25-5t
t=25/8

追问

能不能用初二的方法证？不用相似？而且你还算错了，（1）结果是11，BE是4啊，怎么是3？

Answer 3

过点N做NH垂直BC于点H
因为角C=角C
角NHC=角DFC=90度
所以三角形NHC=三角形DFC
因为DC比HC=5比3
所以NC比HC=5比3
因为MN=NC
所以MH=HC=1/2MC
所以MH=HC=1/2*（10-2t）=5-t
所以5/3=t/（5-t）
所以3t=25-5t
t=25/8