Question

如图，已知：点D是△ABC的边BC上一动点，且AB=AC，DA=DE，∠BAC=∠ADE=α．

如图，已知：点D是△ABC的边BC上一动点，且AB=AC，DA=DE，∠BAC=∠ADE=α．
如图2，当α=90°时，试判断∠BCE的度数是否发生改变？若变化，请指出其变化范围；若不变化，请求出其值，并给出证明；

不要用相似三角形证明（没学）

Answer 1

此题用相似三角形很好证明。

以下用“全等三角形”定律证明：

在D点做垂线 FD⊥BC ，交CA延长线于F点

当α=90°时，等腰三角形底角∠ACB=45°

又因为∠FDC=90°，可证∠DFC=45°

所以△DCF为直角等腰三角形，DF=DC

因∠FDA+∠ADC=∠FDC=90°，∠ADC+∠CDE=∠ADE=90°

所以∠FDA=∠CDE

△FDA与△CDE两条边DF=DC，DA=DE，夹角∠FDA=∠CDE，根据边角边定律，

△FDA与△CDE为全等三角形，

所以∠DCE=∠DFA=45°

可证明，

当D点位于BC中点靠近B时，∠BCE=∠DCE=45°

当D点位于BC的中点时，E点与C点重合，∠BCE任意

当D点位于BC的中点靠近C时，∠BCE=135°（证法同上）

 

Answer 2

此题用相似三角形很好证明。

以下用“全等三角形”定律证明：

在D点做垂线 FD⊥BC ，交CA延长线于F点

当α=90°时，等腰三角形底角∠ACB=45°

又因为∠FDC=90°，可证∠DFC=45°

所以△DCF为直角等腰三角形，DF=DC

因∠FDA+∠ADC=∠FDC=90°，∠ADC+∠CDE=∠ADE=90°

所以∠FDA=∠CDE

△FDA与△CDE两条边DF=DC，DA=DE，夹角∠FDA=∠CDE，根据边角边定律，

△FDA与△CDE为全等三角形，

所以∠DCE=∠DFA=45°

可证明，

当D点位于BC中点靠近B时，∠BCE=∠DCE=45°

当D点位于BC的中点时，E点与C点重合，∠BCE任意

当D点位于BC的中点靠近C时，∠BCE=135°（证法同上）

Answer 3

解：（1）如图，且AB=AC，DA=DE，∠BAC=∠ADE=60°

∴△ABC和△ADE是等边三角形，

∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC=60°，AD=AE，∠BCA=60°，

即，∠BAD=∠CAE，

∴△BAD≌△CAE，

∴∠B=∠ACE=60°，

∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=120°；

（2）如图，过D作DF⊥BC，交CA延长线于F，

∵∠BAC=∠FDC=90°，

∴∠ACB=∠DFC=45°，

∴在直角△FDC中：DF=DC，

又∵∠FDA+∠ADC=∠CDE+∠ADC=90°，

∴∠FDA=∠CDE

又∵DA=DE，

∴△FDA≌△CDE，

∴∠DFA=∠DCE，

∴∠DCE=45°；

同理，过D作DF⊥BC，AC于点F时，∠DFA=∠DCE=135°．

综上所述，∠DCE=45°或∠DCE=135°；

Answer 4

　　（1）如图，且AB=AC，DA=DE，∠BAC=∠ADE=60°
　　∴△ABC和△ADE是等边三角形，
　　∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC=60°，AD=AE，∠BCA=60°，
　　即，∠BAD=∠CAE，
　　∴△BAD≌△CAE，
　　∴∠B=∠ACE=60°，
　　∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=120°；
　　（2）如图，过D作DF⊥BC，交CA或延长线于F，
　　∵∠BAC=∠FDC=90°，
　　∴∠ACB=∠DFC=45°，
　　∴在直角△FDC中：DF=DC，
　　又∵∠FDA+∠ADC=∠CDE+∠ADC=90°，
　　∴∠FDA=∠CDE
　　又∵DA=DE，
　　∴△FDA≌△CDE，
　　∴∠DFA=∠DCE，
　　∴∠DCE=45°；

　　（3）如图，同理当∠FDC=120°时，
　　∵∠ADE=∠BAC=120°，
　　∴∠FDA+∠ADC=∠CDE+∠ADC，∠ACB=30°，
　　∴∠FDA=∠CDE，∠DFC=∠ACB=30°，DF=DC，
　　又AD=DE，
　　∴△FDA≌△CDE，
　　∴∠DCE=∠DFA=30°

Answer 5

可以用共圆么？根据题意，角ACB=角AED=45°，所以ACED共圆，所以角BCE=角DAE=45°。

实际即便α不=90°，只要∠BAC=∠ADE，则角BCE=角DAE都成立

追问

最好也不用。因为也还没学