Question

已知圆C经过坐标原点O且与直线X-Y+2=0相切，切点为A(2,4)

已知圆C经过坐标原点O且与直线X-Y+2=0相切，切点为A(2,4)
1，求圆C的方程
2，若斜率为-1的直线L与圆C相交于不同的两M,N点求|MN|的最大值
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Answer 1

1设圆心C（a,b),半径为r
圆C:(x-a)^2+（y-b)^2=r^2
∵C经过坐标原点O, 切点为A(2,4)
∴a^2+b^2=r^2 (1)
(2-a)^2+(4-b)^2=r^2 (2)
又圆C经过坐标原点O且与直线
X-Y+2=0相切，切点为A(2,4)
∴CA与切线垂直
∴（b-4)/(a-2)*1=-1
∴ b=6-a (3)
(1)-(2):
a+2b-5=0 (4)
(3)(4)解得：a=7,b=-1
∴r^2=50
∴圆C的方程为(x-7)^2+(y+1)^2=50
2
斜率为-1的直线L与圆C相交于不同的两M,N
直线被圆截得的最长弦为直径
∴|MN|的最大值为2√50=10√2

Answer 2

圆心为P，那么PA的方程为：x+y-6=0，因为圆过原点，那么半径=|PA|=|PO|设P(x,y)；
x+y-6=0,(x-2)^2+(y-4)^2=x^2+y^2，解得P(7,-1)，r^2=50;
圆C方程：(x-7)^2+(y+1)^2=50即x^2-14x+y^2+2y=0

最大为直径即直线L过圆心即可|MN|=2r=10根号2

Answer 3

直径垂直切线,切线斜率=1
切点为A（2,4）
则A也在直径上
所以一条直径方程是y-4=-1*(x-2)
x+y-6=0
设圆是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
圆心在x+y-6=0上
a+b-6=0
过原点
a^2+b^2=r^2
圆心到切线距离等于半径
|a-b+2|/根号2=r
(a-b+2)^2=2r^2
所以2(a^2+b^2)=2r^2=(a-b+2)^2
2a^2+2b^2=a^2+b^2+4-2ab+4a-4b
a^2+b^2-4+2ab-4a+4b=0
a+b-6=0
a=6-b
(6-b)^2+b^2-4+2b(6-b)-4(6-b)+4b=0
8b+8=0
b=-1
a=6-b=7
r^2=a^2+b^2=50
所以
(x-7)^2+(y+1)^2=50

Answer 4

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