Question

已知,如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=AC

求证：BG＝FG。
2 若AD=DC=2，求AB的长

Answer 1

（1）证明：
∵AE=AC ∠ABC=∠AFE=90°,∠EAF=∠CAB
∴△AFE≌△ABC(ASA)
∴AF=AB又∵在Rt⊿ABG和Rt⊿AFG中 AG=AG
∴Rt⊿ABG≌Rt⊿AFG（HL）
∴BG＝FG
(2)解： ∵AD=DC且DE⊥AC于F
∴AF=CF(三线合一)∵AF=AB (已证)
∴;在Rt⊿ABC中AB=½AC
∴∠ACB=30°(直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边一半)
又∵AD//BC
∴∠ACB=∠CAD
∴在Rt⊿ADF中，AD=2,DF=½AD=1
由勾股定理得 AF=AB=√3

Answer 2

因为
AE=AC
DE⊥AC ∠ABC=∠AFE=90°
∠EAC为公共角
两角及一角对边相等
所以，△AFE与△ABC全等
所以，AF=AB
因为 AG是公共线
两边和一角相等
所以，△ABG与△AFG全等
所以BG＝FG

因为
AD=DC
DE⊥AC ∠DFC=∠DFA=90°
DF为公共边
两边和一角相等
所以，△ADF与△CDF全等
所以，AF=FC
点DF为AC的垂直平分线
直角△ABC中，斜边是对边的2倍
所以，∠BAC=60°
∠CAD=90°-∠BAC=30°
AB=AF=AD*cos30°