Question

数列题！

等比数列｛bn｝的首项为6。公比为2。。通项公式为3*2^n。
若不等式1/b1+2/b2+……+n/bn+n/(3*2^n)<2/3+logax(a>0,且a≠1）对一切自然数恒成立，求实数x的取值范围
怎么做啊？？？？用错位相减么？？具体怎么操作？
急急急阿！！！！！！

Answer 1

数列｛1/bn｝的首项为1/6,公比为1/2的等比数列，
令an=1/bn=(1/6)(1/2)^(n-1)
Sn =1/b1+2/b2+……+n/bn
=a1+2a2+3a3+4a4+........+nan
Sn=(1/6)(1/2)^0+2(1/6)(1/2)^1+3(1/6)(1/2)^2+....... +n(1/6)(1/2)^(n-1) ①
(1/2)Sn= (1/6)(1/2)^1+2(1/6)(1/2)^2+.......+(n-1)(1/6)(1/2^(n-1)+n(1/6)(1/2)^n ②
（①的两边乘以（1/2）得到②，注意有（1/2）的幂的同类项要对齐，这是错位相减的关键，①-②得到后面）
(1/2)Sn= (1/6)(1/2)^0+(1/6)(1/2)^1+(1/6)(1/2)^2+.......+(1/6)(1/2^(n-1)-n(1/6)(1/2)^n
=(1/6)[1-(1/2)^n]/[1-(1/2)]-n(1/6)(1/2)^n
Sn=(2/3)[1-(1/2)^n]-n(1/6)(1/2)^n
(后面的那一项 n/(3*2^n)=n/bn=nan,是否是多余的，暂时按照多余的计算，基本方法是一样的）
Sn=2/3-[(2/3)(1/2)^n+n(1/6)(1/2)^n]<2/3,
因此只要logax>0即可，
a>1时，x>a^1=a,
0<a<1时，0<x<1,

追问

倒数第六行Sn=(2/3)[1-(1/2)^n]-n(1/6)(1/2)^n 好像错了 后面好像少乘了一个2。是这样么 Sn=(2/3)[1-(1/2)^n]- 2 n(1/6)(1/2)^n。。。后面的那一项 n/(3*2^n)不是多余的。题目是加起来这样的。
最后应该是2/3-[(2/3)(1/2)^n +2 n(1/6)(1/2)^n +n/3*2^n0即可，
a>1时，x>a^1=a,0<a<1时，0<x<1, 这是为什么呢？

追答

"后面好像少乘了一个2。是这样么:"正确
好的 2/3-[(2/3)(1/2)^n +2 n(1/6)(1/2)^n +n/3*2^n0
同样得到Sn0即可，a>1时，x>a^1=a,01时，x≥a^0=1;当0<a<1时，0<x≤1,

Answer 2

楼主需要先对1/b1+2/b2+……+n/bn 求和
设1/b1+2/b2+……+n/bn=Sn
两边同乘2或1/2
然后错位相减
长式就变成短式了！再代入原不等式！
键盘不好输入，楼主再试试！

追问

1/b1+2/b2+……+n/bn=Sn ①2/b1+4/b2+……+2n/bn=2Sn ②
是这样么？ ②-①没变化阿 ？ 也是等于①？？？、我不会操作阿？？麻烦简单写写 拜托了

追答

= =...不是啊，楼主你看，由等比数列定义，乘以2以后n/bn这一项不就变成n/bn-1 了吗 这不就和Sn中的n-1/bn-1能相减了么？

追问

不是很懂阿

追答

就是说等比数列中的一项除以公比就成了它的前一项！