Question

已知：如图△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H点。求证：CH⊥AB

Answer 1

三条高线交于一点
方法1： 三角形ABC中,AC、AB上的高为BE和CF。 显然三角形ABE相似于三角形ACF，故有AB/AC=AE/AF,即AF*AB=AE*AC (1) 过A作三角形ABC的高AD，分别交BE，CF，AB于O1，O2，D。 由三角形AFO2相似于三角形ADB得:AF/AO2=AD/AB,即AF*AB=AO2*AD (2) 由三角形AEO1相似于三角形ADC得:AE/AO1=AD/AC,即AE*AC=AO1*AD (3) 根据等式(1)(2)(3)有 AO1*AD＝AO2*AD, 所以AO1=AO2,O1、O2重合，记重合点为O点，则O点均在高AD，BE，CF上，所以三角形ABC得三条高交于一点O。 方法2： 三角形ABC中，AC、AB上的高BE和CF交于O点，连接并延长AO交BC于D，只需证AD为高即可。 因为角BEC，角CFB均为直角，所以B、C、F、E四点共圆，记为圆BCFE， 由切割线定理知:AF*AB = AE*AC (4) 分别记直角三角形BOF,COE的外接圆为圆BOF，圆COE， 下面只需证明角BDA＝90度即可， 反证：若角BDA小于90度，则角CDA大于90度，因BO，CO分别为圆BOF，圆COE的直径，所以点D在圆BOF外，在圆COE内，由切割线定理推论 AO*AD>AF*AB （点D在圆BOF外） AO*AD<AE*AC （点D在圆COE内） 结合(4),得出矛盾，故角BDA不小于90度。 同理可证角BDA也不大于90度。 故角BDA＝90度。即AD为高。