Question

在正方形ABCD中，其对角线AC、BD交于点O，点P为AB边上的动点PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，M为AD中点，连接OE、OF

(1)求证：ME=MF（2）求证，当ABCD为矩形时，ME=MF 是否仍成立？
（3）求证，当ABCD为一般四边形时能证明吗？不能证，请添加一个条件，并证明。要完整过程谢谢！

Answer 1

证明：(1)连接OM,EF,

PE⊥AC ∠EAP=45° ∴PE=EA

易知四边PEOF是矩形，∴OF=PE ∴OF=AE

因为AM=MB OA=OB ∠AOB=90 ∴OM=AM

∴∠FOM=∠EAM=45°

∴△FOM≅△EAM ∴ME=MF(其实还有ME⊥MF)

(2)当ABCD是矩形时：

因为∠OEP+∠OFP=90+90=180°

∴OEPF四点共圆 因为∠EPF=∠EMO=90°

∴EPMO四点共圆，∴OEMF四点共圆

∴∠MEF=∠MOF ∠MFE=∠MOE

因为OA=OB(矩形对角线相等且互相平分)

AM=MB ∴∠MOA=∠MOB则∠MOF=∠MOE

∴∠MFE=∠MEF

∴ME=MF

(3)一般四边形,如果对角线交点与四边形的一边能构成以这边

为底边的等腰三角形则可。

如图，∠AOB≤90°则证明与上面相同

如果∠AOB>90°时 只要OA=OB,仍然有ME=MF

证明：因为∠OEP=∠OFP=90°

∴OFEP四点共圆

因为∠OEP+∠OMP=180°

∴OEPM四点共圆

∴OFEM四点共圆

∴∠MFE=∠MOE

∠MEF=∠MOB(圆内接四边形外角等于内对角)

因为∠MOE=∠MOB

∴∠MEF=∠MFE ∴ME=MF