Question

已知：如图，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，BD平分∠ABC。求证DC=AD。

Answer 1

证明：分别作DE垂直于AB，DF垂直于BC，垂足为E、F，
则 角AED=角CFD=90度，
因为 BD平分角ABC，
所以 DE=DF，
因为 角A+角C=180度，角A+角DAE=180度，
所以 角DAE=角C，
所以 三角形ADE全等于三角形CDF（角、角、边）
所以 DC=AD。

Answer 2

证明：在BC上截取BE=BA，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
在△BAD和△BED中，
BA=BE
∠ABD=∠EBD
BD=BD
∴△BAD≌△BED（SAS），
∴DA=DE，∠A=∠BED，
∵∠BED+∠DEC=180°，∠A+∠C=180°，
∴∠C=∠DEC，
∴DE=DC，
∴DC=AD．

Answer 3

作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足为E、F， 则 ∠AED=∠CFD=90°， ∵ BD平分∠ABC， ∴ DE=DF， ∵ ∠A+∠C=180°，∠A+∠DAE=180°， ∴ ∠DAE=∠C， ∴ △ADE≌△CDF（AAS） ∴ DC=AD。