Question

已知函数f(x)=x²+2x+a/x,x∈【1，正无穷），若a=1/2,判断函数f(x)在[1,正无穷）上的单调性，并用定义

若函数f(x)在[1,正无穷)上是单调函数，求a的取值范围

Answer 1

完全按你的要求，用定义解决，仔细看一下不一样的证法。说明：

倒数第四行少一个最小值的“小”字

 

Answer 2

解：
1.
令x1,x2∈[1,+∞），且x1<x2，则f(x1)-f(x2)=x1²+2x1+1/2x1-x2²-2x2-1/2x2
=(x1-x2)(x1+x2)+2(x1-x2)+(1/2)(x2-x1)/x1x2
=(x1-x2)[x1+x2+2-1/2x1x2]
∵x1≥1，x2≥1
∴x1+x2≥2
∴0<1/x1≤1，0<1/x2≤1
有：0<1/x1x2＜1
即：0<2/x1x2＜2
-2<-2/x1x2＜0
x1+x2+2-2/x1x2＞2＞0，而x1-x2<0
因此：
f(x1)-f(x2)<0
∴f(x)在∈[1,+∞），单调递减。
2.
∵f(x)是单调函数，当任意x1,x2∈[1,+∞），且x1<x2，必存在
f(x1)<f(x2)或者f(x1)>f(x2)同时只有一种关系恒成立
而：
f(x1)-f(x2)
=(x1-x2)[x1+x2+2-2/x1x2]
要满足上述关系，只要x1+x2+2-1/ax1x2恒大于0或者恒小于0即可
令g(x)=x1+x2+2-a/x1x2
易知：
x1+x2+2≥4
0<1/x1x2＜1
-1<-1/x1x2<0
而当a=4时，g(x)>0，即：f(x1)>f(x2)，f(x)是单调递减函数
当a<4时，g(x)<0，即：f(x1)<(fx2),f(x)是单调递增
当a>4时，g(x)与0关系不能确定，即：f(x1)与(fx2)的关系不能确定
综上：当a≤4时，f(x)是单调函数

Answer 3

解:a=1/2 f(x)=x^2+2x+1/2x
假设 x1,x2在[1,正无穷）上 不妨设x1<x2
则 f(x2)-f(x1)=x2^2+2x2+1/2x2-(x1^2+2x1+1/2x1)=(x2-x1)(x1+x2)+2(x2-x1)+(x1-x2)/2x1x2>0
所以 f(x)在[1,正无穷）上的单调递增。
f'(x)=2x+2-a/x^2=(2x^3+2x^2-a)/x^2
2x^3+2x^2-a的最小值在x=1点取得 为4-a
所以令4-a>=0 即 a<=4.时函数单调递增。
a的范围是a<=4.
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