Question

设f(x)=log(1/2)(1-ax/x-1)为奇函数，a为常数。1.求a 2.证明f(x)在区间(1,正无穷）内单调递增

3.若对于区间[3,4]上的每一个x的值，不等式f(x)>(1/2)x次方+m恒成立，求实数m的取值范围

Answer 1

1、奇函数，f(-x)=-f(x)，log(1/2)[(1+ax)/(-x-1)]=-log(1/2)[(1-ax)/(x-1)]=log(1/2)[(x-1)/(1-ax)]
∴(1+ax)/(-x-1)=(x-1)/(1-ax)，即1-x^2=1-a^2x^2，a^2=1，a=±1
但a=1时，f(x)=log(1/2)(1-x)/(x-1)=log(1/2)(-1)，此函数无意义。∴a=-1
2、f(x)=log(1/2)[(1+x)/(x-1)]=log(1/2)(1+x)-log(1/2)(x-1)
f'(x)=1/[(1+x)ln(1/2)]-1/[(x-1)ln(1/2)]=[1/ln(1/2)]*[1/(1+x)-1/(x-1)]
=[1/ln(1/2)]*[-2/(x^2-1)]=2/[ln2(x^2-1)]
在区间(1,+∞)上，x^2-1>0，∴f'(x)>0，∴f(x)在区间(1,+∞)上单调递增
3、第三问，是个超越方程吧，解不出来

Answer 2

移项有m<f(x)-(1/2)^x,右侧为增函数（增函数减减函数是增函数）
因为恒成立，所以只要m小于右侧的最小值即可，所以当x=3右侧有最小值，代入得m<-9/8