Question

？？？设函数f(x)=x+a/x+1,x∈[0+∞). (1)当a=2时，求函数f(x)的最小值 (2)当0＜a＜1时，求函数

Answer 1

1）
当a=2时函数为f(x)=x+2/(x+1)，
设0《x1<x2；
则f（x1）-f（x2）=x1-x2+2/x1+1-2/x2+1=(x1-x2)(1-2/(x1+1)(x2+1));
现在讨论1-2/(x1+1)(x2+1)的大小关系
令x1=x2=x且令其为0
得x=根号2-1当x》根号2-1
易知f（x1）-f（x2）<0故函数单调递增，
当0<x<跟号2-1时
f（x1）-f（x2）>0函数单调递减
易知函数在x=根号2-1处取得最小值f（根号2-1）=2根号2-1
2）
单调递增。
当0＜a＜1时设0《x1<x2；
则f（x1）-f（x2）=x1-x2+a/x1+1-a/x2+1=(x1-x2)(1-a/(x1+1)(x2+1))
易知x1+1>1,x2+1>1
故(x1+1)(x2+1)>1
所以1-a/(x1+1)(x2+1)>o
即f（x1）-f（x2）<0
故函数单调递增。