Question

设曲面∑x^2+y^2=9为介于z=0及z=3间的部分的外侧，则∫∫（x^2+y^2+1}ds= 。

Answer 1

第一类曲面积分可以用曲面方程化简被积函数：

∫∫（x^2+y^2+1)ds

=∫∫(9+1)ds

=10∫∫1ds

=10*2π*3*3

=180π

曲面类别：

对面积的曲面积分（第一类曲面积分）。

对坐标轴的曲面积分（第二类曲面积分）。

对面积的曲面积分和对坐标轴的曲面积分是可以转化的；两类曲面积分的区别在于形式上积分元素的不同，第一类曲面积分的积分元素是面积元素dS,例如：在积分曲面Σ上的对面积的曲面积分：

∫∫f(x,y,z)dS。

而第二类曲面积分的积分元素是坐标平面dxdy,dydz或dxdz,例如：在积分曲面Σ上的对坐标平面的曲面积分：

∫∫P(x,y,z)dxdy+Q(x,y,z)dydz+R(x,y,z)dxdz。

Answer 2

第一类曲面积分可以用曲面方程化简被积函数

∫∫（x^2+y^2+1)ds

=∫∫(9+1)ds

=10∫∫1ds

=10*2π*3*3

=180π

扩展资料：

对坐标的曲面积分的计算方法：

1)、直接计算方法，将对不同坐标的曲面积分分开单独计算，考虑曲面为单独的三种不同简单类型，采取直接代入函数表达式转换为二重积分的方法计算，唯一要注意的是，法向量与相应坐标轴的方向关系决定直接将曲面积分转换为二重积分的正负。

2、两类曲面积分之间的关系. 注意方向余弦构成的法向量的方向应与曲面的法向量方向一直.

3、利用两类曲面积分之间的关系，将三个对坐标的曲面积分转换为一种类型的对坐标的曲面积分，这样就只要考虑曲面为一种类型的简单类型即可.

4、高斯公式，当积分曲线为空间曲线时，则使用格林公式. (注意三个条件：封闭性，方向性与偏导的连续性)

Answer 3

第一类曲面积分可以用曲面方程化简被积函数
∫∫（x^2+y^2+1)ds
=∫∫(9+1)ds
=10∫∫1ds
被积函数为1，积分结果为曲面面积，本题是一个圆柱面的侧面积
=10*2π*3*3
=180π