Question

如图所示,在矩形ABCD中,E为AD的中点,EF垂直EC,交AB于点F,连接FC(AB大于AE)

(1)三角形AEF与三角形EFC是否相似?若相似,探求你的结论;若不相似,请说明理由;
(2)设AB/BC等于K,是否存在这样的K值,使得三角形AEF相似三角形BCF?若存在,探求你的结论并求出K的值;若不存在,说明理由.

Answer 1

1）相似
理由：因为∠AEF+∠DEC=∠DEC+∠DCE=90度
所以∠AEF=∠DCE
又因为∠A=∠D=90度
所以 △AEF∽△DCE (AA)
所以AF/DE=EF/EC
有因为DE=AE
所以AF/AE=EF/EC
又因为∠A=∠FEC=90度
所以△AEF∽△EFC (SAS)
2)设BC=1,则AE=1/2,AB=k
若 △AEF∽△BCF
则 AE/BC= AF/BF=1/2
所以AF=1/3k,BF=2/3k
因为EF² +EC ² =FC ²
所以(AF² +AE² )+(DE² +DC² )=BF² +BC²
即（1/3k)² +(1/2)² +(1/2)² +k² =(2/3k)² +1²
解得k=√3/2或k=-√3/2(舍去）
所以存在k值为√3/2

我认为思路没有问题，你再琢磨琢磨

Answer 2

楼上是对的，但第二问结果好像反了。我提供我的思路：（1）证出点EFCB共圆，再证AD是切线，得出角AEF=ECE(弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角）于是证明两直角三角形相似(2)根据（1）的结论，能知道满足条件时角EFA是60度，于是角DEC也是60度，就能知道比值是2/(tan60)