Question

如图,已知矩形ABCD的边长AB=2,BC=3,点P是AD边上的一动点(P异于A、D),Q是

26.（10分）如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点. 连AQ、DQ，过P作PE‖DQ交AQ于E，作PF‖AQ交DQ于F.

（1）求证：△APE∽△ADQ；

（2）设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求

当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？

（3）当Q在何处时，△ADQ的周长最小？

（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明）
图无法上传，辛苦自己画一下，谢谢

Answer 1

（1）证明：∵PE∥DQ

∴△APE∽△ADQ；

（2）解：可证△APE∽△ADQ与△PDF∽△ADQ，及S△PEF=1 2 S平行四边形PEQF，

根据相似三角形的面积之比等于相似比得平方，

∴S△AEP S△AQD =(x 3 )2，S△DPF S△ADQ =(3-x 3 )2，

得S△PEF=1 2 ×[3-(x 3 )2×3-(3-x 3 )2×3]=1 2 （-2 3 x2+x）=-1 3 x2+x=-1 3 （x-3 2 ）2+3 4 ．

∴当x=3 2 ，即P是AD的中点时，S△PEF取得最大值3 4 ．

（3）解：作A关于直线BC的对称点A′，连DA′交BC于Q，则这个点Q就是使△ADQ周长最小的点，此时Q是BC的中点．

Answer 2

解：1）∵PE‖DQ
∴：△APE∽△ADQ
（2）S三角形AQD=3
S△APE=x²/3
S△DPF=(3-x）²/3
S平行四边形PFQE=(6x-2x²）/3
S△PEF=-x²/3 +x
当x=3/2 时,有最大值 =3/4
3.A′,D′是A,D关于BC的对称点.
Q在BC中点Q′时.周长最小.
（AQ+QD+AD＝AQ+QD′+AD≥AD′+AD＝AQ′+Q′D+AD）

Answer 3

1）∵PE‖DQ
∴：△APE∽△ADQ

（2）S三角形AQD=3
S△APE=x²/3
S△DPF=(3-x）²/3
S平行四边形PFQE=(6x-2x²）/3
S△PEF=-x²/3 +x
当x=3/2 时，有最大值 =3/4

3.A′,D′是A,D关于BC的对称点。

Q在BC中点Q′时。周长最小。

（AQ+QD+AD＝AQ+QD′+AD≥AD′+AD＝AQ′+Q′D+AD）

Answer 4

由于你没有图,我的图是逆时针为ABCD.

解:
(1).因为角PAE=角PAE
又因为PE//PQ,所以角PEA=角DQA
所以三角形APE∽三角形ADQ

(2).

Answer 5

(1)略
(2)作PF垂直DQ,AG垂直DQ
得AG/DC=AD/DQ
即AG=6/DQ
PF/AG=(3-x)/3
PF=[(6/DQ)*(3-x)]/3
EP/DQ=x/3
PE=(DQ*x)/3
S=PE*PF*0.5=-1/3x^2+x
最大值自己求
(3)作AB延长线AE,使AB=BE
连接ED交BC于点Q,此时AQ=EQ,ED=AQ+DQ

得三角形BFE全等于三角形CFD
所以点Q在BC中点处