Question

如图所示，E是正方形ABCD的BC边上的一点，CG平分角DCF，连结AE，并在CG上取一点G，使EG=AE。求证：AE垂直EG

如图所示，E是正方形ABCD的BC边上的一点，CG平分角DCF，连结AE，并在CG上取一点G，使EG=AE。求证：AE垂直EG

Answer 1

证明：过点G作GH垂直BF交BF于点H。
设正方形的边长为a,BE为b,CH=GH=x,则EC为(a-b).
∵AE=EG
∴AB²+BE²=EH²+GH²
a²+b²=(a-b+x)²+x²
a²+b²-x²=(a-b)²+x²+2x(a-b)
a²+b²-x²=a²+b²-2ab+x²+2ax-2bx
2x²+2ax-2bx-2ab=0
x²+ax-bx-ab=0
x(x-b)+a(x-b)=0
(x-b)(x+a)=0
∵x+a不等于0

∴x=b即GH=BE
∴△ABE≌△EHG（HL）
∠AEB=∠EGH
∠EGH+∠GEH=90°
∴∠AEB+∠GEH=90°
∴∠AEG=90°
即AE垂直于EG。

Answer 2

无图