Question

老师帮忙解答高代题！

设A是实数域R上的一个m×n矩阵,X为R上的一个n×1矩阵,则A'AX=0的充要条件是AX=0

Answer 1

必要性: 若 AX=0, 等式两边左乘A' 即得 A'AX=0 .

充分性: 因为 A'AX=0
所以 X'A'AX=0
故 (AX)'(AX)=0
即实向量AX的内积等于0
所以有 AX=0

追问

实向量AX的内积等于0所以有 AX=0 !实向量AX的内积等于0是什么意思，看不懂！请老师帮忙说明下！

追答

A是实数域R上的一个m×n矩阵,X为R上的一个n×1矩阵
所以 AX 是实数域R上的一个m×1矩阵
设 AX=(y1,...,ym)^T
则 (AX)'(AX) = y1^2+...+ym^2 = 0
所以 yi = 0
所以 AX = 0.