Question

同济高数上册“复合函数求极限定理”，请大家使用最简单的语言解释，以便于运用解题，O(∩_∩)O谢谢。。。

P66页，定理规定：f[g(x)]在点x0的某去心领域内有定义==x0不属于复合函数定义域。

为什么在某些题目不符合这个规定，仍然使用这个定理？？？

如课后习题：

lim（x—>0）二次根号（x*2-2*x+5）==???

x0=0,使这个复合函数定义域有意义，为什么仍然使用这个定理？？？

Answer 1

(1)你已理解,"从证明过程看是需要的".这就对了!事实上,这种需要,是为了不失一般性,为了符合"极限的定义"之需要,并不是g（x）不符合这个条件就不成立了的那种需要.而极限这样定义,却是为了研究那些趋于x0而不达到x0之问题,至于达到x0的情况,是比达不到的情况更简单的. (2)具体说,你不可能举出反例.因为当g（x）等于u0时,结论必真. (3)这样理解:是为了符合极限定义中"(x-x0)的绝对值

追问

先说谢谢了，不过我完全不明白你的意思。

我想问“复合函数求极限定理”：U（。）（X0）《D（f。g）的含义？

我理解是： f[g(x)]在点x0的某去心领域内有定义==x0不属于复合函数定义域

正确吗？O(∩_∩)O谢谢了。。。。。

Answer 2

明显你把最基础的理解搞错了。定理3中的＂x0去心临域U0（ D f•g＂意思是说＂x0的某去心临域属于复合函数的定义域＂。记住！那个有开口的马蹄符号表示＂左边的是右边的子集＂！参见教科书第二页。

Answer 3

那个去心临域是对g(x)来说的，因为对于定理3，f(u)已经在u0点连续，所以对于g(x)在x0点是否连续是否有意义无关，只要极限存在就可以，所以用了去心临域。并不是表示复合函数在x0点无定义。