Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3(a属于R） 1，求函数f（x)的单调区间 2，若函数y=f(x

已知函数f（x）=alnx-ax-3(a属于R） 1，当a=3时，求函数f（x)的单调区间 2，若函数y=f(x)的图像在点（2,f(2))处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，对任意的t属于[1，2]，函数g(x)=x^3+x^2[(m/2)+f’(x)]在区间（t，3）上总存在极值

Answer 1

1. a=3 => f(x)=3lnx-3x-3 => f'(x)=3/x-3 且 x>0
∴x∈(0,1) 时 f'(x) > 0 则 f(x)单调增加
x∈[1,∞)时 f'(x) ≤ 0 则 f(x)单调减少

2. f(x)=alnx-ax-3 => f'(x)=a/x-a 且 x>0
y=f(x) 经过 (2,f(2))倾斜角45° => f'(2)=tg45°=1 => a/2-a=1 => a=-2
=> f'(x)=-2/x+2
g(x)=x^3+x^2[(m/2)+f'(x)]
=x^3+x^2[(m/2)-2/x+2]
=x^3+ (m/2+2)*x^2-2x => g'(x)=3x^2+(m+4)x-2

g(x)对任意t∈[1,2]在(t,3)上总有极值 => g(x)在[2,3)上总有总有极值
=> g'(x)=0 在[2,3)恒有解 => 3x^2+(m+4)x-2=0 在[2,3)恒有解
=> (m+4)^2+24≥0 恒成立， x=(-m-4±sqrt((m+4)^2+24))/6至少有一个解∈[2,3)
∵g'(3)=27+3*(m+4)-2=37+3m , g'(2)=12+2*(m+4)-2=18+2m
∴若在[2,3)有极大值，则g'(2)≥0 且g'(3)<0
=> 18+2m≥0 且 37+3m<0 => m∈∅
若在[2,3)有极小值，则g'(2)≤0 且g'(3)>0
=> 18+2m≤0 且 37+3m>0 => -37/3≤m<-9
综上，m取值范围为[-37/3,-9)

Answer 2

1、f'(x)=a/x-a,若a=0,则f(x)=-3为常值函数；若a>0,则0<x<1时单调递增，x>1时单调递减；若a<0，则x>1时单调递增，0<x<1时单调递减。
2、f'(2)=a/2-a=tan45°=1 a=-2g(x)=x^3+x^2(-2lnx+2x-3+m/2) g'(x)=3x^2+2x(-2lnx+2x-3+m/2)+x^2(-2/x+2)=09x^2-4xlnx+(m-8)x=0 9x-4lnx+m-8=0 设m(x)=4lnx-9x+8根据题意，2<x<3，所以m'(x)=4/x-9<0，即m(x)在2<x<3时单调递减，所以m(3)<m<m(2)4ln3-19<m<4ln2-19