Question

数学难题 ，求解救！！！！！！！

已知圆的方程：x^2+y^2-2x-4y-4=0 直线L过点（2,0）与圆交于M, N。OM垂直于ON
（O为原点），求直线方程！！！！！！！！
请把步骤写清楚！！！！
答对再悬赏30分！！！

Answer 1

圆的方程化简，圆心（1,2）半径为3的圆。直线设为Y=k(x-2).
联立直线与圆的方程，消掉y，化简，得（k^2+1）x^2-(4k^2+4k+2)x+(2k+2)^2-8=0
设M,N坐标为（x1,y1）(x2,y2).
向量OM点乘向量ON=0，则x1x2+y1y2=0
韦达定理x1x2=（4k^2+8k-4）/(k^2+1),x1+x2=（4k^2+4k+2）/(k^2+1).
y1y2=k^2(x1x2+4-2x1-2x2)
x1x2+y1y2=(化简)8k-4=0,得K=0.5,则可得直线方程。
（直线恒过园内一点，所以直线与圆恒有两个交点。）

Answer 2

Answer 3

设直线L的方程为y=k（x-2），M点（x1，y1），N点（x2，y2），向量OM=（x1，y1），向量ON=（x2，y2），圆方程为（x-1）²+（y-2）²=9
∵OM垂直于ON∴向量OM⊥向量ON，即x1x2+y1y2=0
将直线方程代入圆方程
（x-1）²+【k（x-2）-2】²=9
（k²+1）x²-（2+4k²+4k）x+4k²+8k-4=0
x1+x2=（2+4k²+4k）/（1+k²），x1x2=（4k²+8k-4）/（1+k²）
∴y1y2+x1x2=8k-4=0
∴k=1/2
∴直线方程为y=1/2x-1

追问

为什么y1y2=k^2(x1x2+4-2*1-2*2)?

追答

y1y2=k²（x1-2）（x2-2），然后化简。