Question

求助 数学老师 帮忙解答3道简单的概率论题

概率论题：
1.设X1，X2,X3为来自总体X-N（µ，ð2）的一个样本，且EX=µ存在，验证统计量（1）、（2）都是µ的无偏估计，并指出哪一个更好。
(1)1/5X1+3/10X2+1/2X3;
(2)1/3X1+1/6X2+1/2X3。

2.设随机变量（X,Y）具有概率密度
f(x,y)= Ce-(x+y),x≥0,y ≥0,
0,其它
求（1）常数C；
（2）关于X和关于Y的边缘分布密度。

3.设X=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4）2，其中X1，X2，X3，X4是来自总体N（0，22）的简单随机样本。试问当a、b各位何值时，统计量X服从X2分布，并指出其自由度。
请问有具体步骤没？

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

1.验证无偏估计就是求统计量的期望。E（1/5X1+3/10X2+1/2X3）=E（1/5X1）+E（3/10X2）+E（1/2X3） =1/5E(X1)+3/10E(X2)+1/2E(X3)=(1/5+3/10+1/2)E(X1)=µ第二个同理。。2.概率密度有归一性，即积分值为1把f(x,y)= Ce-(x+y)在定义域内积分即可（忘了二重积分该怎么积了。。。貌似C=1吧）第二问就是对单一变量求积分，就可以得到另一变量的边缘分布密度。比如f(x,y)= Ce-(x+y)对x积分就得到y的边缘密度函数。3.由X2分布就是一列服从N（0,1）的正态分布随机变量的平方和，关键就在于凑出服从N（0，1）的随机变量，那么就需要把给的随机变量标准化。X1-2X2服从N（0,110），X1-2X2/(根号下110)就服从N（0,1），那a就需要等于根号下110。同理可以算出b的值。最后自由度就是2，因为是两个正态总体的平方和嘛