Question

已知函数f（x）为R上的奇函数，且f（1）=-1，对任意a，b∈R，a+b≠0，有f(a)+f(b）\a+b<0

已知函数f（x）为R上的奇函数，且f（1）=-1，对任意a，b∈R，a+b≠0，有f(a)+f(b）\a+b<0
1﹚判断f(x)在R上的单调性,并用定义证明你的结论；2)解关于x的不等式f[k(1-x)\x-2]<1（k≥0，且k≠1）

Answer 1

1）.函数f（x）为R上的奇函数,
f(-x)=-f(x)
x1-x2≠0 ,即x1+(-x2)≠0
[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)=[f(x1)+f(-x2)]/[x1+(-x2)]<0
得到x1-x2与f(x1)-f(x2)y异号，即有
如果x1<x2,则 f(x1)>f(x2), 如果x1>x2,则 f(x1)<f(x2),
f(x)在R上为减函数。
2）f(1)=-1,f(-1)=1
f[k(1-x)\x-2]<1=f(-1)
f(x)为减函数，得到
k(1-x)/x-2>-1
k(1-x)/x>1,
等价于：x≠0,且kx(1-x)>x^2
(1+k)x^2-kx<0
x[(1+k)x-k]<0
k=0时解为空集，k≠0时,0<x<k/(k+1).
如果 f[k(1-x)\x-2]<1=f(-1)
是 f[k(1-x)/(x-2)]<1可得
k(1-x)/(x-2)>-1
等价于 x-2≠0,且k(1-x)(x-2)>-(x-2)^2
k=0时，解集为R且x≠2
k>0时，
k(1-x)(x-2)+(x-2)^2>0
(x-2)[k(1-x)+x-2]>0
(x-2)[(1-k)x+k-2]>0
0<k<1时，2<x<(2-k)/(1-k)
k>1时，(2-k)/(1-k)<x<2.